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合并排序(分治)
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发布时间:2019-03-23

本文共 1725 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

归并排序是一种高效的排序算法,广泛应用于数据处理领域。其基本思想是将数据分成若干个子数组分别排序,然后将这些建排序好的子数组合并成一个完整排序的数组。以下是归并排序的实现及其时间复杂度分析:

归并排序的核心步骤包括分割、递归排序以及合并。

分割:将数据集分成两半,直到每个子集无法再分割。递归排序:递归地对每个子集执行同样的分割-排序-合并操作。合并:将两个已排序的子数组合并成一个更大的已排序数组。

以下是归并排序的核心代码示例:

#include 
#include
using namespace std;void merge(int iData[], int iBuffer[], int iLow, int iMid, int iHigh) { int i = iLow, j = iMid + 1, k = iLow; while (i <= iMid && j <= iHigh) { if (iData[i] <= iData[j]) { iBuffer[k++] = iData[i++]; } else { iBuffer[k++] = iData[j++]; } } if (i <= iMid) { for (int ii = i; ii <= iMid; ii++) { iBuffer[k++] = iData[ii]; } } else { for (int ij = j; ij <= iHigh; ij++) { iBuffer[k++] = iData[ij]; } }}void mergeSort(int iData[], int iBuffer[], int iLow, int iHigh) { if (iHigh > iLow) { int iMid = (iHigh + iLow) / 2; mergeSort(iData, iBuffer, iLow, iMid); mergeSort(iData, iBuffer, iMid + 1, iHigh); merge(iData, iBuffer, iLow, iMid, iHigh); for (int i = iLow; i <= iHigh; i++) { iData[i] = iBuffer[i]; } }}int main() { int iData[10] = {3, 5, 11, 8, 6, 14, 26, 9, 44, 12}; int iBuffer[10] = {0}; mergeSort(iData, iBuffer, 0, 9); for (int j = 0; j < 10; j++) { cout << iData[j] << " "; } return 0;}

时间复杂度分析:

归并排序的时间复杂度为 O(n log n),这一结果可以通过对分治法的渐进分析得出。递归过程中的总运算量与排序任务的规模成比例。具体来说,归并排序的总时间复杂度可以分解为以下两部分:

  • 分割阶段:归并排序采用二分法分割数据集,分割次数为 log2(n)。
  • 合并阶段:每次分割操作都会产生两个子问题,每个子问题需要递归排序,总的递归操作数为 2 * log2(n)。
  • 根据 Master 定理,归并排序的渐进时间复杂度为 O(n log n),这是归并排序算法选择的重要原因之一,它在处理大规模数据时表现优异。

    Master 定理的定义表明,对于递归算法,其时间复杂度可以通过解决子问题的复杂度乘以递归深度来计算。归并排序的递归深度为 log2(n),因此其总时间复杂度为 O(n log n)。

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